증가율과 감소율 (Percent Change)

빠른 답변: 증가율과 감소율 (Percent Change)은 원래 값에서 얼마만큼 변했는지를 백분율 (percentage)로 나타내는 개념입니다. 변화량을 원래 값으로 나누어 계산하며, 복잡한 식은 Desmos 계산기를 활용해 빠르게 검산할 수 있습니다.

graph LR
    A["문제 상황: 가격 변화 등"] --> B["대수적 풀이: 공식 사용"]
    A --> C["Desmos 활용: 비례식 입력"]
    B --> D["정답 도출"]
    C --> D

증가율과 감소율이란?

증가율과 감소율 (Percent Change)은 어떤 수량이 시간에 따라 혹은 조건에 따라 얼마나 변했는지를 백분율 (percentage)로 표현하는 방법입니다. College Board의 Digital SAT 수학 섹션 중 문제 해결 & 데이터 분석 (Problem Solving & Data Analysis) 영역에서 매우 큰 비중을 차지합니다.

이 개념은 한국 교육과정의 중학교 수학에서 배우는 비율 (ratio) 및 비례식 (proportion)의 기초부터 시작하여, 고등학교 수학 I의 지수함수 단원에서 다루는 복리 계산 및 인구 증감 모델과 직접적으로 연결됩니다. 수능 수학에서는 복잡한 계산을 직접 손으로 해야 하지만, SAT에서는 내장된 Desmos 계산기를 활용하여 복잡한 소수점 계산이나 지수 (exponent) 계산을 훨씬 빠르고 정확하게 처리할 수 있습니다.

단계별 풀이법

퍼센트 변화율 문제를 풀 때는 기준이 되는 '원래 값'을 정확히 파악하는 것이 가장 중요합니다.

1. 1단계: 원래 값과 새로운 값 식별하기 — 문제에서 변화하기 전의 초기값(Original Value)과 변화 후의 값(New Value)을 찾습니다.
2. 2단계: 변화량 계산하기 — 새로운 값에서 원래 값을 빼서 실제 변화량을 구합니다. (새로운 값 - 원래 값)
3. 3단계: 원래 값으로 나누기 — 구한 변화량을 원래 값으로 나눕니다. 여기서 많은 학생들이 새로운 값으로 나누는 실수를 하니 주의해야 합니다.
4. 4단계: 백분율로 변환하기 — 나온 소수 결과값에 100을 곱하여 백분율 (percentage) 기호를 붙입니다.

Desmos 꿀팁

한국 수능 수학과 달리, SAT는 계산기(Desmos) 사용이 가능합니다. 복잡한 소수가 나오는 단위 비율 문제나 증가율 문제에서 Desmos를 활용하면 계산 실수를 획기적으로 줄일 수 있습니다.

예를 들어, 어떤 값이 $A$에서 $B$로 변했을 때, Desmos 입력창에 ((B - A) / A) * 100을 그대로 입력하면 즉시 퍼센트 변화율이 계산됩니다. 또한, 매년 5%씩 10년간 증가하는 복리 문제의 경우 함수 (function) 형태로 y = A(1 + 0.05)^x를 입력하고 그래프의 테이블 기능을 활용하면 특정 연도의 값을 한눈에 확인할 수 있습니다.

풀이 예제

문제: A store buys a jacket for $50 and marks it up to$80. What is the percent increase in the price?

풀이:

1단계: 원래 값(Original)은 $50, 새로운 값(New)은$80입니다.

2단계: 변화량을 구합니다.

$80 - 50 = 30$

3단계: 변화량을 원래 값으로 나눕니다.

$\frac{30}{50} = 0.6$

4단계: 백분율 (percentage)로 변환하기 위해 100을 곱합니다.

$0.6 \times 100 = 60$

정답은 60% 입니다. 이 과정은 비례식과 교차곱의 원리를 이용해서 $\frac{30}{50} = \frac{x}{100}$ 이라는 방정식 (equation)을 세워 풀 수도 있습니다.

자주 하는 실수

1. 증가 계수와 감소 계수의 혼동 — Lumist 데이터에 따르면, 학생들의 60%가 처음에 증가 계수 $(1+r)$와 감소 계수 $(1-r)$를 혼동합니다. 문제에서 '할인(discount)'이나 '감소(decrease)'라는 단어가 나오면 반드시 1에서 백분율을 빼야 합니다.

2. 백분율을 소수로 변환 생략 — Lumist 데이터에 따르면, 복리 계산이나 지수 함수 문제에서 25%의 학생들이 백분율을 소수로 변환하는 것을 잊어버립니다. 예를 들어 5% 증가는 식에 $1.5$가 아니라 $1.05$로 들어가야 합니다. $1.5$는 50% 증가를 의미합니다.

3. 기준점(원래 값) 설정 오류 — 변화량을 나눌 때 '새로운 값'으로 나누는 실수가 잦습니다. 퍼센트 변화율은 항상 '원래 값(Original Value)'을 기준으로 한다는 점을 명심하세요. 이는 정비례와 역비례 관계를 파악할 때 기준이 되는 값을 설정하는 것과 같은 이치입니다.

자주 묻는 질문

퍼센트 증가율 공식은 어떻게 되나요?

가장 기본적인 공식은 '((새로운 값 - 원래 값) / 원래 값) × 100' 입니다. 변화량을 기준점(원래 값)으로 나누는 것이 핵심입니다.

감소율을 계산할 때 음수가 나오면 어떻게 하나요?

음수 기호 자체가 '감소'를 의미합니다. 문제에서 '감소율(percent decrease)이 얼마인가?'라고 물어볼 때는 절댓값 (absolute value)을 씌워 양수로 대답하는 것이 일반적입니다.

복리 이자나 인구 증가 문제도 퍼센트 변화율에 속하나요?

네, 맞습니다. 이러한 문제들은 지수 (exponent) 함수 형태로 나타나며, 매 기간 일정한 비율 (ratio)로 증가하거나 감소하는 복합적인 퍼센트 변화를 다룹니다.

SAT에서 증가율과 감소율 문제는 몇 개 나오나요?

Lumist.ai에는 이와 관련된 30개의 연습 문제가 준비되어 있습니다. 실제 SAT의 문제 해결 & 데이터 분석 영역에서 퍼센트 관련 문제는 보통 2~3문제 정도 꾸준히 출제되며, 난이도에 따라 배점이 다를 수 있습니다.