비례식과 교차곱 (Proportions and Cross Multiplication)

빠른 답변: 비례식 (proportion)은 두 비율 (ratio)이 서로 같음을 나타내는 방정식 (equation)이며, 대각선으로 곱하는 교차곱 (cross multiplication)을 통해 미지수를 쉽게 구할 수 있습니다. 수능과 달리 SAT에서는 Desmos 계산기를 활용해 복잡한 분수식의 교점도 단번에 찾아낼 수 있어요.

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    A["문제 및 미지수 파악"] --> B["단위 일치 확인"] --> C["비례식 세우기"] --> D["교차곱 계산"] --> E["정답 도출"]

비례식과 교차곱이란?

비례식 (proportion)은 두 개의 비율 (ratio)이 동등함을 나타내는 수식입니다. 주로 분수 형태로 표현되며, $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 와 같이 나타냅니다. 이때 양변의 분모를 없애고 간단한 방정식 (equation)으로 만들기 위해 대각선 방향으로 곱하는 방식을 **교차곱 (Cross Multiplication)**이라고 합니다. 즉, $ad = bc$ 가 성립하게 됩니다.

이러한 비례식 개념은 중학교 수학에서 시작되어, 한국 교육과정의 확률과 통계 단원에서 백분율 (percentage)이나 확률 (probability)을 계산할 때 기본기로 활용됩니다. 또한 미지수 $x$가 양쪽 분모와 분자에 모두 포함된 경우, 교차곱을 통해 수학 I에서 배우는 이차 (quadratic) 방정식으로 변형되기도 하며, 이때 근을 판별하기 위해 판별식 (discriminant)을 사용해야 할 수도 있습니다.

한국 수능 수학과 달리, College Board가 주관하는 Digital SAT에서는 Desmos 계산기 사용이 가능합니다. 따라서 복잡한 교차곱을 직접 손으로 계산하다가 실수할 위험 없이, 그래프 기능을 활용하여 빠르고 정확하게 해를 구할 수 있습니다.

단계별 풀이법

1. 1단계 — 문제에서 비교하고 있는 두 대상의 비율 (ratio)을 파악하고, 구해야 하는 값을 미지수 $x$로 둡니다.
2. 2단계 — 좌변과 우변의 단위가 일치하는지 확인합니다. (예: 분자가 시간, 분모가 거리라면 양변 모두 동일한 구조여야 합니다.)
3. 3단계 — $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ 형태의 방정식 (equation)을 세웁니다.
4. 4단계 — 교차곱을 적용하여 $ad = bc$ 형태로 식을 변환합니다.
5. 5단계 — 일차방정식 또는 이차방정식을 풀어 $x$의 값을 구합니다.

Desmos 꿀팁

수능과 달리 SAT에서는 Desmos를 적극적으로 활용할 수 있습니다. 교차곱을 하다가 부호 실수를 할 것 같다면, 대수적으로 푸는 대신 Desmos에 직접 방정식을 입력하세요.

1. Desmos 입력창에 비례식 전체를 그대로 입력합니다. 예: (x-3)/4 = (x+1)/5
2. Desmos가 수직선 형태로 그래프를 그려주면, 그 선이 $x$축과 만나는 지점(또는 수직선의 $x$값)을 클릭하여 정답을 바로 확인합니다.
3. 만약 연립방정식 (system of equations) 형태라면 두 식을 각각 $y = ...$ 로 입력하여 교점을 찾습니다. 교점이 없다면 해 없음 / 불능 (no solution), 완전히 겹치면 부정 / 무한해 (infinite solutions)임을 알 수 있습니다.

풀이 예제

문제: If $\frac{x - 3}{4} = \frac{x + 1}{5}$, what is the value of $x$?

풀이:

1단계: 주어진 비례식에 교차곱 (cross multiplication)을 적용합니다. 대각선으로 곱하면 다음 방정식 (equation)이 성립합니다.

$5(x - 3) = 4(x + 1)$

2단계: 양변에 분배법칙을 적용하여 괄호를 풀어줍니다.

$5x - 15 = 4x + 4$

3단계: $x$가 있는 항은 좌변으로, 상수는 우변으로 이항하여 정리합니다.

$5x - 4x = 4 + 15$

$x = 19$

정답은 19 입니다.

자주 하는 실수

1. 분배법칙 누락 실수 — Lumist 데이터에 따르면 대수(Algebra) 영역 오류의 15%가 괄호 안의 모든 항에 음수나 숫자를 분배하지 않아서 발생합니다. 교차곱을 할 때 $5(x-3)$을 $5x - 3$으로 잘못 쓰는 경우가 매우 빈번하니 주의하세요.

2. 단위 변환 누락 — Lumist 데이터에 따르면 문제 해결 & 데이터 분석 영역 오류의 18%는 계산 전 단위를 변환하지 않아 발생합니다. 비례식을 세울 때 좌변은 '시간', 우변은 '분'으로 설정된 상태에서 그대로 교차곱을 진행하면 완전히 틀린 답이 나옵니다. /ko/sat/math/dan-wi-bi-yul 및 /ko/sat/math/sok-do-geo-ri-si-gan-mun-je 개념을 함께 복습하여 단위를 항상 일치시키는 습관을 들이세요.

비례식은 일차함수의 기울기 (slope)나 y절편 (y-intercept)을 구하는 문제로도 확장될 수 있습니다. 더 깊은 이해를 원한다면 /ko/sat/math/jeong-bi-rye-yeok-bi-rye 주제도 함께 학습해 보세요.