일률 문제 (Work Rate Problems)

빠른 답변: 일률 문제 (Work Rate Problems)는 여러 주체가 함께 일할 때 걸리는 시간을 구하는 문제로, 전체 작업량을 1로 두고 각 주체의 단위 시간당 작업량(일률)을 합산하여 풉니다. 수능과 달리 Digital SAT에서는 Desmos를 활용해 복잡한 유리방정식의 해를 그래프의 교점(intersection)으로 쉽게 찾을 수 있습니다.

mindmap
  root("(일률 문제"))
    기본 원리
      전체 작업량 = 1
      단위 시간당 작업량 = 1/시간
    방정식 세우기
      1/A + 1/B = 1/T
      유리식 활용
    확장 유형
      채우기/빼기 부호 반대
      중간에 합류/이탈
    Desmos 활용
      교점 찾기

일률 문제란?

일률 문제 (Work Rate Problems)는 두 명 이상의 사람이나 기계가 함께 작업을 수행할 때 걸리는 총 시간을 구하거나, 반대로 함께 걸린 시간을 바탕으로 개별 작업 시간을 역산하는 유형입니다. College Board의 Digital SAT 수학 영역 중 '문제 해결 & 데이터 분석 (Problem-Solving and Data Analysis)' 파트에서 출제되며, 단위 비율 (Unit Rates)의 응용 개념으로 볼 수 있습니다.

한국 수학 교육과정에서는 중학교 1학년 '일차방정식의 활용' 단원에서 처음 접하게 되며, 고등수학(하)의 '유리식 (rational expression)' 파트에서도 유사한 원리를 다룹니다. 한국의 수능 수학에서는 이러한 식을 세우고 공통분모를 찾아 직접 계산해야 하지만, SAT에서는 내장된 계산기인 Desmos를 활용하여 방정식 (equation)을 시각화하고 교점을 찾는 방식으로 훨씬 빠르고 정확하게 풀 수 있습니다.

단계별 풀이법

1. 1단계: 전체 작업량 설정 — 특별한 언급이 없다면 전체 작업량을 '1'로 설정합니다.
2. 2단계: 개별 일률 구하기 — A가 일을 끝내는 데 $a$시간이 걸린다면, A의 1시간당 일률은 $\frac{1}{a}$이 됩니다. B의 일률도 같은 방식으로 $\frac{1}{b}$로 구합니다.
3. 3단계: 방정식 (equation) 세우기 — 두 사람이 함께 일할 때 걸리는 총 시간을 $t$라고 하면, $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{t}$ 라는 비례식 (proportion) 형태의 방정식을 세웁니다.
4. 4단계: 미지수 계산하기 — 비례식 교차 곱 (Cross-Multiplication)이나 분모의 최소공배수를 곱하여 $t$의 값을 구합니다.

Desmos 꿀팁

수능과 달리 SAT에서는 Desmos 계산기 사용이 가능합니다. 복잡한 유리방정식을 손으로 풀다가 계산 실수를 하는 것을 방지하려면 다음과 같이 Desmos를 활용하세요.

예를 들어 $\frac{1}{4} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2.4}$ 라는 식을 풀어야 한다면, Desmos 입력창에 식을 그대로 입력합니다. Desmos가 수직선 형태로 해를 바로 보여주거나, 혹은 y = 1/4 + 1/x 와 y = 1/2.4 두 개의 함수 (function)를 입력하여 두 그래프가 만나는 교점(intersection)의 x좌표를 클릭하기만 하면 정답을 즉시 확인할 수 있습니다.

풀이 예제

문제: John can paint a house in 4 hours. Mary can paint the same house in 6 hours. If they work together, how long will it take them to paint the house?

풀이:

1단계: John과 Mary의 시간당 일률(Work Rate)을 구합니다. John의 일률 = $\frac{1}{4}$ Mary의 일률 = $\frac{1}{6}$

2단계: 함께 일할 때 걸리는 시간을 $t$로 두고 방정식 (equation)을 세웁니다.

$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{1}{t}$

3단계: 공통분모인 12로 통분하여 더합니다.

$\frac{3}{12} + \frac{2}{12} = \frac{1}{t}$

$\frac{5}{12} = \frac{1}{t}$

4단계: 양변의 역수를 취하여 $t$를 구합니다.

$t = \frac{12}{5} = 2.4$

정답: 2.4 (또는 2 hours 24 minutes)

자주 하는 실수

1. 단위 변환 및 비율 계산 누락 — Lumist 학생 데이터에 따르면, 문제 해결 및 데이터 분석 영역 오류의 18%가 계산 전 단위나 비율을 변환하지 않아서 발생합니다. 일률 문제에서 가장 흔한 오답 패턴은 4시간과 6시간을 단순히 더해 10시간으로 답하거나, 평균을 내어 5시간으로 답하는 것입니다. 반드시 역수 형태의 일률로 변환해야 합니다.

2. 부호 실수 (Sign Errors) — 파이프에 물을 채우고 동시에 빼는 문제에서 물을 빼는 쪽의 일률을 음수(-)로 설정해야 하는데, 이를 양수(+)로 더해버리는 실수가 잦습니다. 이는 정비례와 역비례 (Direct and Inverse Variation) 개념을 혼동하는 것과 유사한 오류입니다.

자주 묻는 질문

일률 문제에서 왜 역수를 사용하나요?

전체 작업량을 1로 두었을 때, 어떤 사람이 일을 마치는 데 걸리는 시간이 $x$시간이라면, 1시간 동안 하는 일의 양(일률)은 $\frac{1}{x}$이 되기 때문입니다. 이 단위 시간당 작업량을 구해야만 여러 사람의 작업량을 수학적으로 합산할 수 있습니다.

세 명이 함께 일하는 문제도 똑같이 푸나요?

네, 맞습니다. 세 명의 일률이 각각 $\frac{1}{a}$, $\frac{1}{b}$, $\frac{1}{c}$라면, 함께 일할 때의 일률은 $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{t}$ ($t$는 총 걸린 시간)가 됩니다. 항이 하나 더 늘어날 뿐 원리는 동일합니다.

파이프에 물을 채우고 빼는 문제도 일률 문제인가요?

네, 동일한 개념입니다. 물을 채우는 파이프의 일률은 양수(+)로, 물을 빼는 파이프의 일률은 음수(-)로 설정하여 방정식 (equation)을 세우면 됩니다.

SAT에서 일률 문제는 몇 개 나오나요?

일률 문제는 SAT 수학의 '문제 해결 & 데이터 분석' 영역에 속하며, 시험당 보통 1~2문제가 출제됩니다. Lumist.ai에는 이 유형을 완벽히 마스터할 수 있는 15개의 실전 연습 문제가 준비되어 있으니 충분히 훈련해 보세요.