선형 vs 지수 모델 선택 (Linear vs. Exponential Model Choice)

빠른 답변: 선형 모델은 일정한 양(constant amount)이 더해지거나 빼질 때 사용하고, 지수 모델은 일정한 비율이나 백분율(percentage)로 곱해지거나 나눠질 때 사용해요. 헷갈린다면 Desmos에 표를 만들어 데이터를 입력하고 그래프의 형태를 확인해 보세요.

graph LR
    A["데이터 또는 상황 분석"] --> B{"변화율 확인"}
    B -->|일정한 양 덧셈/뺄셈| C["선형 모델: y = mx + b"]
    B -->|일정한 비율 곱셈/나눗셈| D["지수 모델: y = a*b^x"]
    C --> E["정답 도출"]
    D --> E

선형 vs 지수 모델 선택이란?

Digital SAT 수학의 문제 해결 & 데이터 분석 영역에서 자주 출제되는 이 유형은, 주어진 실생활 상황이나 데이터 표를 보고 그것이 **선형(Linear)**으로 변하는지 지수(Exponential) 형태로 변하는지 판단하여 알맞은 함수 (function) 식을 찾는 문제입니다.

이 개념은 한국 교육과정의 고등 수학(상)에서 배우는 직선의 방정식 (equation)과 수학 I의 지수함수 단원에서 다루는 내용과 정확히 일치합니다. 선형 모델은 기울기 (slope)가 일정한 일차함수이고, 지수 모델은 일정한 비율 (ratio)로 증가하거나 감소하는 지수함수입니다. College Board에서는 학생들이 텍스트에 주어진 단서를 통해 이 두 가지를 명확히 구분할 수 있는지를 평가합니다. 선형 함수의 경우 /ko/sat/math/gi-ul-gi-jeol-pyeon-hyeong-sik 개념과 밀접하게 연결됩니다.

한국 수능 수학에서는 복잡한 지수 방정식의 해를 구하거나 그래프의 교점을 찾는 데 집중한다면, SAT는 실생활 문제에서 모델을 세우는 것에 더 초점을 맞춥니다. 또한 수능과 달리 SAT에서는 Desmos 계산기를 적극적으로 활용할 수 있어, 표의 데이터를 그래프로 찍어보고 시각적으로 모델을 선택하는 것이 가능합니다.

단계별 풀이법

1. 1단계: 문제의 핵심 단어 찾기 — 문제 설명에서 값이 어떻게 변하는지 나타내는 키워드를 찾으세요. "increases by 50 per year"처럼 일정한 양이면 선형, "increases by 15% per year" 또는 "doubles"처럼 비율이나 백분율 (percentage)이면 지수입니다.
2. 2단계: 선형 모델 식 세우기 (Linear) — 선형 변화라면 $y = mx + b$ 형태의 식을 떠올리세요. 여기서 $m$은 변화하는 양(기울기), $b$는 초기값(y절편 (y-intercept))입니다. 이 과정은 /ko/sat/math/dan-wi-bi-yul을 구하는 방식과 유사합니다.
3. 3단계: 지수 모델 식 세우기 (Exponential) — 지수 변화라면 $y = a(b)^x$ 형태의 식을 세웁니다. 여기서 $a$는 초기값, $b$는 변화율(성장 인자 또는 감소 인자)입니다. 지수 (exponent) 자리에 시간 변수가 들어갑니다.
4. 4단계: 비율 (ratio) 계산 시 주의하기 — 지수 모델에서 $r$% 증가한다면 $b = 1 + (r/100)$이 되고, 감소한다면 $b = 1 - (r/100)$이 됩니다.

Desmos 꿀팁

수능과 달리 SAT에서는 Desmos를 사용할 수 있습니다! 문제에 데이터 표가 주어졌다면, Desmos의 표(+ 버튼 클릭 후 table 선택)에 데이터를 입력해 보세요.

점들이 직선 형태로 찍힌다면 선형 모델이므로 입력창에 y1 ~ mx1 + b를 입력하여 최적의 식을 찾을 수 있습니다. 점들이 곡선 형태로 급격히 상승하거나 하락한다면 지수 모델이므로 y1 ~ a*b^x1을 입력하여 $a$와 $b$의 값을 바로 구할 수 있습니다. 이 방법은 식을 직접 세우는 것보다 실수를 크게 줄여줍니다.

풀이 예제

문제: A population of bacteria in a petri dish is initially 500. The population increases by 15% every hour. Which of the following equations models the number of bacteria, $P(t)$, after $t$ hours?

A) $P(t) = 500(0.15)^t$ B) $P(t) = 500(1.15)^t$ C) $P(t) = 500 + 15t$ D) $P(t) = 500 + 1.15t$

풀이:

1단계: 변화율의 형태를 확인합니다. 매시간 "15%"씩 증가하므로 일정한 양이 아닌 백분율 (percentage)로 증가합니다. 따라서 선형 모델(C, D)이 아닌 지수 모델(A, B)을 선택해야 합니다.

2단계: 지수 모델의 기본 형태인 $P(t) = a(b)^t$를 설정합니다. 여기서 초기값 $a = 500$입니다.

3단계: 15%씩 '증가'하므로, 성장 인자(growth factor) $b$를 구합니다. 15%를 소수로 바꾸면 0.15입니다. 증가 모델이므로 $1 + 0.15$를 계산합니다.

$$b = 1 + 0.15 = 1.15$$

4단계: 식을 완성합니다.

$$P(t) = 500(1.15)^t$$

따라서 정답은 B입니다. (A는 초기 인구의 15%만 남는다는, 즉 85%가 감소한다는 의미이므로 틀립니다.)

자주 하는 실수

1. 성장 인자와 감소 인자 혼동 — Lumist 학생 데이터에 따르면, 초기 노출 시 60%의 학생들이 지수 성장 요인 $(1+r)$과 지수 감소 요인 $(1-r)$을 혼동합니다. 20% 감소한다고 할 때 $0.2$를 곱하는 것이 아니라 $(1 - 0.2) = 0.8$을 곱해야 한다는 점을 수학 I에서 배운 것처럼 꼭 기억하세요. /ko/sat/math/jeong-bi-rye-yeok-bi-rye 개념과 헷갈리지 않도록 주의해야 합니다.

2. 백분율 변환 누락 — Lumist 데이터에 의하면 복리나 지수 모델 문제에서 25%의 학생들이 백분율을 소수로 변환하는 것을 잊어버립니다. 5% 증가를 $1.5$로 쓰는 실수가 잦습니다. 5%는 $0.05$이므로 성장 인자는 $1.05$가 되어야 합니다.

자주 묻는 질문

선형 증가와 지수 증가는 어떻게 구분하나요?

문제에서 '매년 5명씩 증가한다'처럼 일정한 '양'이 변하면 선형(Linear)이고, '매년 5%씩 증가한다' 또는 '두 배가 된다'처럼 일정한 '비율'로 변하면 지수(Exponential) 모델을 선택해야 해요.

지수 감소 모델에서 식은 어떻게 세우나요?

초기값에 $(1 - r)$을 곱하는 형태가 됩니다. 예를 들어 매년 20%씩 감소한다면, 감소율 $r = 0.2$이므로 식은 $y = a(0.8)^x$ 형태를 띱니다.

표가 주어졌을 때 어떤 모델인지 어떻게 아나요?

$x$가 1씩 커질 때 $y$의 변화를 확인하세요. $y$값들의 '차이'가 일정하면 선형 모델이고, $y$값들의 '비율(나눈 값)'이 일정하면 지수 모델이에요.

SAT에서 선형 vs 지수 모델 선택 문제는 몇 개 나오나요?

Digital SAT 수학의 문제 해결 & 데이터 분석 영역에서 보통 1~2문제가 출제됩니다. Lumist.ai에는 이 유형을 완벽하게 대비할 수 있는 20개의 연습 문제가 준비되어 있으니 꼭 풀어보세요.