Quick Answer
Bình phương hoàn thiện (Completing the Square) là một kỹ thuật đại số quan trọng trong Digital SAT dùng để biến đổi đa thức bậc hai từ dạng tổng quát (standard form) sang dạng đỉnh (vertex form). Phương pháp này giúp xác định nhanh tọa độ đỉnh của parabol hoặc tâm và bán kính của đường tròn (circle) trong mặt phẳng tọa độ.
Đây là phương pháp thêm và bớt một hằng số vào biểu thức bậc hai để tạo thành một bình phương của một nhị thức. Kỹ thuật này dựa trên hằng đẳng thức đáng nhớ (x + a)² = x² + 2ax + a² trong chương trình Toán THPT Việt Nam.
Question: The equation x² + 8x + y² - 10y = 8 represents a circle in the xy-plane. What is the radius of the circle? Giải: Bước 1: Nhóm các hạng tử x và y riêng biệt: (x² + 8x) + (y² - 10y) = 8. Bước 2: Thực hiện bình phương hoàn thiện cho từng nhóm. Với x: lấy (8/2)² = 16. Với y: lấy (-10/2)² = 25. Bước 3: Cộng cả hai vế với 16 và 25: (x² + 8x + 16) + (y² - 10y + 25) = 8 + 16 + 25. Bước 4: Viết lại dưới dạng bình phương: (x + 4)² + (y - 5)² = 49. Bước 5: Vì phương trình đường tròn có dạng (x-h)² + (y-k)² = r², ta có r² = 49, suy ra bán kính r = 7.
Lỗi 1: Quên không cộng hằng số vào cả hai vế của phương trình, dẫn đến làm thay đổi giá trị của biểu thức.
Lỗi 2: Sai sót khi chia hệ số b cho 2 trước khi bình phương, đặc biệt là khi b là số lẻ hoặc phân số.
Lỗi 3: Quên nhân hằng số mới thêm vào với hệ số 'a' bên ngoài dấu ngoặc khi đa thức có hệ số a khác 1.
Học sinh muốn đạt 750+ cần biết rằng khi gặp bài toán tìm đỉnh của parabol, đôi khi dùng công thức x = -b/2a sẽ nhanh hơn, nhưng với phương trình đường tròn, Bình phương hoàn thiện (Completing the Square) là con đường duy nhất và bắt buộc phải thành thạo để lấy điểm tuyệt đối.
Parabol (Parabola)
Trong bài thi Digital SAT, Parabol (Parabola) là biểu đồ hình chữ U đại diện cho một hàm số bậc hai (quadratic function). Các đặc điểm quan trọng của Parabol bao gồm đỉnh (vertex) - điểm cao nhất hoặc thấp nhất, trục đối xứng (axis of symmetry), và các giao điểm với trục hoành (x-intercepts) thường được gọi là nghiệm (zeros) của hàm số.
Phương trình bậc hai (Quadratic Equation)
Phương trình bậc hai (Quadratic Equation) là một chủ đề trọng tâm trong phần Advanced Math của Digital SAT. Phương trình có dạng tổng quát $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$). Để thành công, thí sinh cần nắm vững cách tìm nghiệm (roots), hiểu về biệt thức (discriminant) và mối quan hệ với đồ thị parabol (parabola).
Explore This Topic
Learn more with step-by-step practice on Lumist
Đây là kỹ thuật biến đổi biểu thức bậc hai x² + bx thành (x + b/2)² - (b/2)². Trong SAT, nó được dùng để chuyển phương trình về dạng dễ đọc các thông số như đỉnh parabol hoặc tâm đường tròn.
Sử dụng Completing the Square khi đề bài yêu cầu tìm dạng đỉnh (vertex form), tọa độ đỉnh, hoặc khi giải phương trình đường tròn. Quadratic Formula thường dùng khi bạn chỉ cần tìm nghiệm (x-intercepts) của phương trình bậc hai.
Nếu phương trình có dạng x² + bx, hằng số cần thêm vào để tạo thành bình phương hoàn thiện luôn là (b/2)². Lưu ý hệ số của x² phải bằng 1 trước khi thực hiện bước này.
Thông thường có khoảng 1-3 câu trong mỗi đề thi Digital SAT liên quan trực tiếp đến kỹ thuật này, chủ yếu nằm ở phần câu hỏi khó (Hard module) của phần Math.
Công thức Nghiệm (Quadratic Formula)
Công thức Nghiệm (Quadratic Formula) là công thức $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ dùng để tìm nghiệm (roots) của phương trình bậc hai (quadratic equation) dạng $ax^2 + bx + c = 0$. Trong Digital SAT, đây là công cụ vạn năng giúp giải quyết các bài toán khi không thể phân tích thành nhân tử (factoring) hoặc khi cần tìm nghiệm chính xác chứa căn thức.
