이익·매출·비용 문제 (Profit & Revenue)

빠른 답변: 이익(Profit)은 총매출(Revenue)에서 총비용(Cost)을 뺀 값입니다. 복잡한 식을 세우기보다 Desmos(데스모스)를 활용해 두 그래프의 차이를 시각적으로 확인하거나 최댓값을 찾는 것이 훨씬 빠릅니다.

graph TD
    A["문제 읽기"] --> B{"구해야 하는 것은?"}
    B -->|이익 계산| C["이익 = 매출 - 비용"]
    B -->|손익분기점| D["매출 = 비용 설정"]
    B -->|최대 이익| E["이차함수 꼭짓점 찾기"]

이익·매출·비용 문제이란?

이익·매출·비용 문제는 비즈니스 상황을 수학적으로 모델링하는 유형입니다. College Board가 주관하는 Digital SAT에서 실생활 응용 문제로 자주 등장하죠.

이 유형은 한국 수학 교육과정의 중학교 일차방정식 활용이나 고등학교 수학 I, 수학 II의 다항식(polynomial), 함수(function) 단원과 깊은 연관이 있습니다. 매출액과 비용을 나타내는 방정식(equation)을 세우고, 이를 통해 이익을 계산하거나 손익분기점을 찾는 것이 핵심이에요. 때로는 이익이 0보다 커야 한다는 부등식(inequality)을 세우거나, 한국 수학 I에서 배운 이차방정식의 판별식(discriminant)을 활용해 특정 이익을 달성할 수 있는 해가 존재하는지 파악해야 할 수도 있습니다.

특히 최대 이익을 구하는 문제는 이차(quadratic) 함수로 표현되는 경우가 많은데, 수능 수학과 달리 SAT에서는 Desmos 계산기를 적극적으로 활용할 수 있으므로 꼭짓점(vertex)을 찾는 과정이 훨씬 수월합니다.

단계별 풀이법

1. 1단계 — 문제에서 주어진 고정 비용(y절편, y-intercept)과 단위당 변동 비용(기울기, slope)을 파악하여 총비용(Cost) 식을 세우세요.
2. 2단계 — 판매 가격과 판매량을 곱하여 총매출(Revenue) 식을 만드세요.
3. 3단계 — 이익(Profit) 공식을 적용하세요: $Profit = Revenue - Cost$. 이때 괄호를 쳐서 비용 전체에 마이너스 부호가 분배되도록 주의해야 합니다.
4. 4단계 — 손익분기점을 찾는다면 이익을 $0$으로 설정하고, 최대 이익을 찾는다면 함수의 최댓값(꼭짓점)을 구하세요.

Desmos 꿀팁

수능과 달리 SAT에서는 Desmos를 사용할 수 있습니다! 매출 식을 $y_1$, 비용 식을 $y_2$로 Desmos에 입력해 보세요.

• 손익분기점: 두 그래프가 만나는 교점을 클릭하면 바로 손익분기점이 되는 수량을 알 수 있습니다. 연립방정식(system of equations)을 손으로 풀 필요가 없죠.
• 최대 이익: 이익 함수 $y_3 = y_1 - y_2$를 새로 입력한 뒤, 그래프의 가장 높은 점(꼭짓점)을 클릭하세요. 복잡한 인수분해(factoring)나 완전제곱식 변형 없이도 정답을 3초 만에 찾을 수 있어요.

풀이 예제

문제: A company manufactures and sells custom widgets. The cost to produce $x$ widgets is given by the function $C(x) = 15x + 400$. The revenue generated from selling $x$ widgets is given by the function $R(x) = -0.5x^2 + 65x$. How many widgets must the company sell to maximize its profit?

풀이:

1. 먼저 이익(Profit) 함수 $P(x)$를 구해야 합니다. 이익은 매출(Revenue)에서 비용(Cost)을 뺀 값입니다.

$P(x) = R(x) - C(x)$

2. 주어진 식을 대입합니다. 비용 식 전체를 빼야 하므로 괄호를 꼭 사용하세요.

$P(x) = (-0.5x^2 + 65x) - (15x + 400)$

3. 식을 정리합니다.

$P(x) = -0.5x^2 + 65x - 15x - 400$

$P(x) = -0.5x^2 + 50x - 400$

4. 최대 이익을 구하려면 이 이차(quadratic) 함수의 꼭짓점(vertex)의 $x$좌표를 찾아야 합니다. 대칭축(axis of symmetry) 공식 $x = -\frac{b}{2a}$를 사용합니다.

$x = -\frac{50}{2(-0.5)} = -\frac{50}{-1} = 50$

5. Desmos를 사용한다면 입력창에 y = -0.5x^2 + 50x - 400을 치고 그래프에서 가장 높은 점인 $(50, 850)$을 클릭하기만 하면 됩니다. 따라서 $50$개의 위젯을 팔아야 최대 이익을 얻습니다.

정답: 50

자주 하는 실수

1. 변수 및 식 설정 오류 — Lumist 데이터에 따르면 문제 해결 & 데이터 분석 단어 문제에서 11%의 학생들이 잘못된 변수를 선택해 오류를 범합니다. 특히 /ko/sat/math/dan-wi-bi-yul 문제처럼 단위당 비용과 고정 비용을 반대로 적어 기울기(slope)와 y절편(y-intercept)이 뒤바뀌는 실수가 잦습니다.

2. 음수 분배 누락 — 대수학(Algebra) 영역 오류의 15%는 괄호 안의 모든 항에 음수 부호를 분배하지 않아서 발생합니다. $Profit = Revenue - Cost$를 계산할 때 비용 식에 괄호를 치지 않아 상수항의 부호를 그대로 두는 실수를 조심하세요.

3. 단위 변환 누락 — Lumist 학생 데이터의 18%가 비율을 계산하기 전에 단위를 변환하지 않아 틀리는 것으로 나타났습니다. /ko/sat/math/bi-rye-sik-gyo-cha-gop이나 /ko/sat/math/jeong-bi-rye-yeok-bi-rye 개념을 활용할 때, 문제에서 제시한 화폐 단위나 수량 단위(예: 백 개, 천 달러)가 일치하는지 꼭 확인하세요.