유리함수 (Rational Functions)

빠른 답변: 유리함수는 다항식의 비로 이루어진 함수로, 분모가 0이 되는 지점에서 점근선을 가집니다. 수능과 달리 Digital SAT에서는 Desmos를 활용해 그래프를 직접 그려 점근선과 교점을 직관적으로 확인할 수 있습니다.

pie title 유리함수 문제 주요 실수 유형
    "불완전한 인수분해" : 45
    "분모가 0이 되는 조건("무연근") 누락" : 35
    "부호 및 연산 오류" : 20

유리함수란?

유리함수 (Rational Functions)는 분모와 분자가 모두 다항식 (polynomial)으로 이루어진 함수 (function)를 말합니다. 한국 수학 교육과정의 '고등수학(하)'에서 처음 배우며, 이후 '수학 II'의 함수의 극한 단원이나 미적분 과정에서도 기초가 되는 중요한 개념입니다. 유리식 (rational expression)을 다룰 때는 분모가 0이 될 수 없다는 점이 정의역 (domain)과 치역 (range)을 결정하는 핵심입니다.

SAT 수학에서는 유리함수 외에도 기울기 (slope), y절편 (y-intercept)을 다루는 일차함수, 꼭짓점 (vertex)과 대칭축 (axis of symmetry) 및 판별식 (discriminant)을 사용하는 이차 (quadratic) 방정식 (equation), 두 식의 교점을 찾는 연립방정식 (system of equations) 등이 출제됩니다. 이 때 교점이 없으면 해 없음 (no solution), 일치하면 무한해 (infinite solutions)가 됩니다. 또한 삼각함수 (trigonometry), 지수 (exponent), 절댓값 (absolute value), 역함수 (inverse function), 합성함수 (composite function) 등 다양한 형태를 다룹니다.

경우에 따라서는 삼각형 (triangle), 원 (circle)의 넓이 (area)나 부피 (volume)를 구하는 기하 문제, 혹은 평균 (mean), 중앙값 (median), 최빈값 (mode), 표준편차 (standard deviation)를 묻는 통계 문제, 확률 (probability), 백분율 (percentage), 비율 (ratio), 비례식 (proportion) 문제와 부등식 (inequality)이 결합되어 출제되기도 합니다. College Board에서 출제하는 Digital SAT에서는 한국 수능 수학과 달리 계산기(Desmos) 사용이 가능하므로 매우 유리합니다.

단계별 풀이법

1. 1단계 — 분모와 분자를 각각 최대한 인수분해 (factoring) 합니다.
2. 2단계 — 분모가 0이 되는 $x$ 값을 찾아 정의역 (domain)에서 제외합니다.
3. 3단계 — 공통 인수가 있다면 약분하여 유리식 (rational expression)을 간단히 정리합니다.
4. 4단계 — 방정식 (equation)을 푸는 경우, 양변에 분모의 최소공배수를 곱해 다항식 (polynomial) 형태로 만듭니다.
5. 5단계 — 구한 해가 2단계에서 제외한 $x$ 값과 겹치는지 반드시 확인합니다.

Desmos 꿀팁

수능과 달리 SAT에서는 Desmos를 사용할 수 있습니다. 유리함수 방정식 $\frac{2x+1}{x-3} = 5$를 풀 때, 대수적으로 풀기보다 Desmos에 두 함수 $y = \frac{2x+1}{x-3}$와 $y = 5$를 각각 입력하세요. 두 그래프가 만나는 교점의 $x$ 좌표가 바로 방정식 (equation)의 해입니다. 또한, 복잡한 유리식을 단순화하는 문제에서도 주어진 식과 보기의 식들을 각각 그래프로 그려 완전히 일치하는 그래프를 찾으면 계산 실수 없이 정답을 고를 수 있습니다.

풀이 예제

문제: If $\frac{x^2 - 9}{x - 3} = 7$, what is the value of $x$?

풀이:

1단계 — 좌변의 분자를 인수분해 (factoring) 합니다. $x^2 - 9$는 합차 공식에 의해 $(x-3)(x+3)$이 됩니다.

$$\frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = 7$$

2단계 — 분모가 0이 될 수 없으므로 $x \neq 3$임을 확인합니다.

3단계 — 공통 인수 $(x-3)$을 약분합니다.

$$x + 3 = 7$$

4단계 — 방정식 (equation)을 풀어 $x$를 구합니다.

$$x = 4$$

5단계 — 구한 해 $x=4$는 제한 조건 $x \neq 3$에 위배되지 않으므로 정답입니다.

정답: 4

자주 하는 실수

1. 불완전한 인수분해 — Lumist 학생 데이터에 따르면, 고급 수학 (advanced-math) 영역 오류의 18%가 식을 끝까지 인수분해 (factoring) 하지 않고 중간에 멈춰서 발생합니다. 분자와 분모를 끝까지 분해해야 숨겨진 공통 인수를 찾을 수 있습니다. 인수분해 개념을 확실히 복습하세요.

2. 부호 실수 및 판별식 혼동 — Lumist 데이터에 의하면 이차 (quadratic) 공식을 사용할 때 부호 실수나 판별식 (discriminant) 적용 오류가 28%를 차지합니다. 유리함수의 분자가 이차식일 때 근의 공식이나 꼭짓점 형식 (Vertex Form)을 활용하는 과정에서 부호에 각별히 주의해야 합니다.

자주 묻는 질문

유리함수에서 수직점근선은 어떻게 찾나요?

유리식을 기약분수 형태로 완전히 약분한 후, 분모를 0으로 만드는 $x$ 값이 수직점근선이 됩니다. 약분되어 사라진 인수는 점근선이 아니라 그래프상의 구멍(hole)을 만듭니다.

분수방정식을 풀 때 무연근(extraneous solution)은 왜 생기나요?

방정식을 풀기 위해 양변에 식을 곱하는 과정에서, 원래는 분모에 있어 0이 될 수 없었던 값이 해로 도출될 수 있기 때문입니다. 항상 구한 답을 원래 식의 분모에 대입해 0이 되는지 확인해야 합니다.

유리식을 간단히 할 때 가장 주의해야 할 점은 무엇인가요?

반드시 모든 항을 인수분해 (factoring) 하는 것이 우선입니다. 덧셈이나 뺄셈으로 연결된 항의 일부만 임의로 약분하는 것은 학생들이 가장 많이 하는 실수 중 하나입니다.

SAT에서 유리함수 문제는 몇 개 나오나요?

Lumist.ai에는 이와 관련된 연습 문제가 15개 준비되어 있습니다. 고급 수학 (advanced-math) 영역에서 다항식 (polynomial) 및 유리식 (rational expression)의 연산과 관련된 문제는 시험마다 1~3문제 정도 꾸준히 출제되는 중요한 주제입니다.