빠른 답변: 절댓값 부등식 (absolute value inequality)은 변수가 절댓값 기호 안에 있는 부등식으로, 수직선 상에서 원점으로부터의 거리를 의미합니다. 수능과 달리 SAT에서는 Desmos 계산기를 활용해 그래프의 교점을 확인하면 훨씬 빠르고 정확하게 풀 수 있어요.
graph TD
A["절댓값 부등식 문제"] --> B{"부등호 방향"}
B -->|작다 <| C["사이 범위: -a < x < a"]
B -->|크다 >| D["바깥 범위: x < -a 또는 x > a"]
C --> E["Desmos로 그래프 그려 검산하기"]
D --> E
절댓값 부등식이란?
절댓값 (absolute value)은 수직선에서 어떤 수가 0으로부터 떨어져 있는 '거리'를 나타냅니다. 따라서 절댓값 부등식 (absolute value inequality)은 특정 거리 범위 안에 있는 변수의 값을 찾는 문제입니다. 이 개념은 한국 고등학교 수학(상)의 방정식과 부등식 단원에서 배우는 내용과 완벽하게 동일합니다.
College Board에서 출제하는 Digital SAT 수학에서는 이 개념을 대수학 및 고급 수학 (advanced-math) 영역에서 자주 다룹니다. 한국 수능 수학에서는 이를 손으로 직접 풀어야 하지만, SAT에서는 Desmos 내장 계산기를 사용할 수 있다는 점이 가장 큰 차이입니다. 복잡한 식이라도 인수분해 (factoring)나 대수적 연산에 얽매이지 않고 함수 (function) 그래프로 직관적인 접근이 가능해요.
단계별 풀이법
- 1단계: 절댓값 고립시키기 — 식의 한쪽에 절댓값 기호만 남도록 나머지 항들을 이항하여 정리합니다.
- 2단계: 부등호 방향 확인하기 — 절댓값이 양수보다 작다()면 '사이 범위(AND)'로, 크다()면 '바깥 범위(OR)'로 식을 두 개로 나눕니다.
- 3단계: 두 개의 부등식 (inequality) 풀기 — 양수일 때와 음수일 때의 두 가지 방정식 (equation) 형태의 부등식을 각각 풉니다. 이때 음수를 곱하거나 나누면 부등호 방향이 바뀐다는 점을 꼭 기억하세요!
- 4단계: 해의 범위 결합하기 — 구한 두 범위를 수직선 상에 나타내어 최종 정의역 (domain) 혹은 해의 범위를 구합니다.
Desmos 꿀팁
수능과 달리 SAT에서는 Desmos를 적극적으로 활용해야 합니다. 부등식을 풀 때, 좌변과 우변을 각각 별개의 함수 (function)로 입력해 보세요.
예를 들어, 를 풀 때:
- Desmos에
y = |x - 2|를 입력합니다. (절댓값 기호는 키보드의|또는 Desmos 키패드의|a|버튼 사용) - 두 번째 줄에
y = 5를 입력합니다. - V자 모양의 그래프가 가로선 아래에 있는 의 범위를 찾으면 끝입니다! 교점을 클릭하면 정확한 좌표를 바로 확인할 수 있어요.
풀이 예제
문제: What is the solution set for the inequality ?
풀이:
1단계: 먼저 절댓값 부분만 남기기 위해 양변에 4를 더합니다.
2단계: 양변을 2로 나눕니다.
3단계: 부등호가 작다()이므로, '사이 범위'로 두 개의 부등식 (inequality)을 만듭니다.
4단계: 모든 항에 3을 더하여 를 구합니다.
정답은 입니다.
(Desmos를 쓴다면 y = 2|x-3| - 4와 y = 6을 입력하고 교점 사이의 범위를 바로 읽으면 10초 만에 풀 수 있습니다!)
자주 하는 실수
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부등호 방향 안 바꾸기 — Lumist 학생 데이터에 따르면, 부등식 오류의 45%가 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향을 바꾸는 것을 잊어버려서 발생합니다. 절댓값을 풀고 난 후 앞의 계수를 나눌 때 음수라면 반드시 방향을 뒤집어주세요.
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절댓값을 그냥 괄호처럼 풀기 — 절댓값 기호를 단순히 괄호로 생각하고 양수 경우의 방정식 (equation) 하나만 푸는 실수가 잦습니다. 절댓값은 항상 두 가지 경우(양, 음)를 모두 고려해야 하며, 이차방정식에서 근의 공식 (quadratic formula)을 쓸 때 가 붙는 것과 비슷한 맥락으로 꼼꼼히 챙겨야 해요.
