Bài Toán Năng Suất (Work Rate)

Trả lời nhanh: Bài toán năng suất (Work Rate) yêu cầu tính thời gian hoàn thành công việc khi nhiều đối tượng làm chung hoặc làm riêng. Mẹo cốt lõi: Luôn chuyển về 'năng suất trong 1 đơn vị thời gian' (ví dụ: 1/x công việc/giờ) trước khi cộng gộp, và bạn có thể dùng Desmos để giải phương trình (equation) một cách nhanh chóng.

mindmap
  root("(Bài Toán\nNăng Suất"))
    Khái niệm
      Năng suất Work Rate
      Thời gian Time
      Công việc Work
    Công thức
      Năng suất = 1 / Thời gian
      Cộng năng suất khi làm chung
    Cách giải
      Lập phương trình Equation
      Tìm giao điểm trên Desmos

Bài Toán Năng Suất là gì?

Trong bài thi College Board Digital SAT, Bài toán năng suất (Work Rate problems) thường hỏi về việc hai hay nhiều người (hoặc máy móc) làm việc cùng nhau thì mất bao lâu để hoàn thành một công việc, hoặc ngược lại.

Nếu bạn còn nhớ chương trình Toán THCS (lớp 8, lớp 9) tại Việt Nam, đây chính là dạng toán "Giải bài toán bằng cách lập phương trình/hệ phương trình (system of equations)" chủ đề làm chung - làm riêng. Nguyên tắc tối thượng của dạng này là: Không bao giờ được cộng trực tiếp thời gian. Thay vào đó, bạn phải quy đổi về tỉ lệ (ratio) công việc hoàn thành trong một đơn vị thời gian – hay còn gọi là năng suất.

Khái niệm này có mối liên hệ mật thiết với các bài toán về /vi/sat/math/don-vi-ti-le và /vi/sat/math/ti-le-thuan-va-ti-le-nghich. Để giải nhanh, máy tính Desmos tích hợp sẵn trong bài thi sẽ là trợ thủ đắc lực giúp bạn xử lý các biểu thức phân thức (rational expression) phức tạp.

Phương Pháp Giải Từng Bước

1. Bước 1: Xác định thời gian làm riêng — Gọi thời gian để đối tượng A hoàn thành xong toàn bộ công việc một mình là $A$, và đối tượng B là $B$.
2. Bước 2: Chuyển đổi sang năng suất — Tính lượng công việc mỗi đối tượng làm được trong 1 đơn vị thời gian (1 giờ, 1 ngày...). Năng suất của A là $\frac{1}{A}$, của B là $\frac{1}{B}$.
3. Bước 3: Thiết lập phương trình (equation) — Khi làm chung, tổng năng suất bằng năng suất của A cộng với năng suất của B. Nếu thời gian làm chung là $T$, ta có phương trình: $\frac{1}{A} + \frac{1}{B} = \frac{1}{T}$
4. Bước 4: Giải phương trình — Tìm ẩn số theo yêu cầu của đề bài (có thể là tìm $T$, hoặc tìm $A$, $B$).

Mẹo Desmos

Việc quy đồng mẫu số các biểu thức phân thức (rational expression) có thể dễ dẫn đến sai sót. Thay vào đó, hãy dùng Desmos! Ví dụ, nếu đề cho A làm xong trong 4 giờ, hai người làm chung xong trong 2.4 giờ, tìm thời gian B làm một mình. Bạn có phương trình: $\frac{1}{4} + \frac{1}{x} = \frac{1}{2.4}$

Trên Desmos, hãy nhập:

• Dòng 1: $y = \frac{1}{4} + \frac{1}{x}$
• Dòng 2: $y = \frac{1}{2.4}$

Tìm hoành độ giao điểm (x-coordinate) của hai đồ thị hàm số (function) này. Bạn sẽ thấy chúng cắt nhau tại $x = 6$. Vậy B làm một mình mất 6 giờ!

Ví Dụ Minh Họa

Đề bài: Machine A can produce a batch of parts in 5 hours. Machine B can produce the same batch in 7 hours. If both machines work together at their constant rates, how many hours will it take them to produce the batch?

Lời giải:

• Bước 1: Thời gian máy A làm một mình là $A = 5$ giờ. Thời gian máy B làm một mình là $B = 7$ giờ.
• Bước 2: Năng suất của máy A là $\frac{1}{5}$ lô/giờ. Năng suất của máy B là $\frac{1}{7}$ lô/giờ.
• Bước 3: Gọi $T$ là thời gian làm chung. Tổng năng suất khi làm chung là $\frac{1}{T}$. Ta có phương trình (equation): $\frac{1}{5} + \frac{1}{7} = \frac{1}{T}$
• Bước 4: Quy đồng vế trái: $\frac{7}{35} + \frac{5}{35} = \frac{12}{35}$ Do đó, $\frac{1}{T} = \frac{12}{35}$. Nghịch đảo hai vế, ta được $T = \frac{35}{12}$ (khoảng 2.92 giờ).

Đáp án: 35/12

Bẫy Thường Gặp

1. Cộng trực tiếp thời gian — Dữ liệu từ Lumist cho thấy 18% lỗi sai trong phần Giải Quyết Vấn Đề & Phân Tích Dữ Liệu đến từ việc học sinh không quy đổi đơn vị (ở đây là quy đổi sang năng suất). Rất nhiều bạn lấy thẳng $5 + 7 = 12$ giờ. Hãy nhớ, hai máy cùng làm thì thời gian phải NGẮN HƠN thời gian của máy làm nhanh nhất!

2. Quên nghịch đảo ở bước cuối — Sau khi tính được $\frac{1}{T} = \frac{12}{35}$, nhiều bạn điền luôn đáp án là $12/35$. Thực chất đó mới là năng suất chung, bạn phải nghịch đảo lại để ra thời gian $T = \frac{35}{12}$.

Câu Hỏi Thường Gặp

Làm sao để nhớ công thức làm chung làm riêng vậy ạ?

Bạn chỉ cần nhớ nguyên tắc duy nhất: Năng suất = 1 / Thời gian hoàn thành. Đừng bao giờ cộng thời gian lại với nhau, hãy cộng năng suất (tốc độ làm việc) của từng người/máy.

Dùng Desmos giải bài này kiểu gì cho lẹ?

Bạn thiết lập phương trình (equation) dạng 1/A + 1/B = 1/T. Nhập hai vế thành hai hàm số (function) trên Desmos và tìm hoành độ giao điểm để ra đáp án ngay lập tức mà không cần quy đồng.

Dạng này có giống toán cấp 2 ở Việt Nam không?

Chính xác! Đây chính là dạng 'Giải bài toán bằng cách lập phương trình' phần làm chung - làm riêng mà các bạn đã học rất kỹ ở môn Toán lớp 8 và lớp 9.

SAT có bao nhiêu câu hỏi về Bài Toán Năng Suất?

Dạng bài này thuộc phần Giải Quyết Vấn Đề & Phân Tích Dữ Liệu (Problem-Solving and Data Analysis), chiếm khoảng 15% tổng số câu hỏi Toán. Lumist hiện có 15 câu hỏi luyện tập chuyên sâu trong ngân hàng đề để bạn rèn luyện dạng này.