특수 직각삼각형: 45-45-90 (Special Right Triangles: 45-45-90)

빠른 답변: 45-45-90 직각삼각형은 두 변의 길이가 같은 이등변 직각삼각형으로, 세 변의 비율 (ratio)이 $1 : 1 : \sqrt{2}$입니다. 수능과 달리 Digital SAT에서는 Desmos 계산기를 활용해 무리수 값을 빠르게 확인할 수 있지만, 이 비율을 외워두면 계산 시간을 획기적으로 단축할 수 있습니다.

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    A["문제 읽기 및 45-45-90 확인"] --> B["주어진 변의 길이 파악"] --> C["1:1:√2 비율 적용"] --> D["방정식 계산"] --> E["정답 도출"]

특수 직각삼각형: 45-45-90이란?

45-45-90 삼각형은 두 내각이 $45^\circ$이고 한 각이 $90^\circ$인 직각삼각형 (triangle)입니다. 한국 중학교 수학의 기하 단원과 고등학교 수학 I의 삼각함수 (trigonometry) 단원에서 매우 중요하게 다루는 개념입니다. 정사각형을 대각선으로 반으로 자른 모양과 같기 때문에, 직각을 낀 두 변(밑변과 높이)의 길이가 항상 같습니다.

College Board에서 제공하는 시험 화면 내 공식표(Reference Sheet)에도 명시되어 있듯이, 이 삼각형의 세 변의 비율 (ratio)은 항상 다음과 같습니다:

$x : x : x\sqrt{2}$

한국 수능 수학과 달리, SAT는 계산기(Desmos) 사용이 가능합니다. 따라서 무리수 $\sqrt{2}$가 포함된 복잡한 연산이 나오더라도 당황할 필요 없이 계산기를 활용할 수 있지만, 기본적으로 /ko/sat/math/pi-ta-go-ra-seu-jeong-ri를 매번 쓰는 것보다 이 비율을 암기해 두는 것이 훨씬 효율적입니다.

단계별 풀이법

1. 1단계: 삼각형의 종류 확인하기 — 문제에서 주어진 각도가 $45^\circ$이거나, 직각삼각형인데 두 변의 길이가 같다면 45-45-90 삼각형입니다. /ko/sat/math/sam-gak-hyeong-nae-gak-ui-hap 원리에 의해 직각과 $45^\circ$가 있으면 나머지 한 각도 무조건 $45^\circ$가 됩니다.
2. 2단계: 주어진 변의 위치 파악하기 — 주어진 길이가 직각을 낀 변(leg)인지, 아니면 가장 긴 빗변(hypotenuse)인지 확인합니다.
3. 3단계: 비율 (ratio) 적용하기 — 직각을 낀 변이 주어졌다면 빗변을 구하기 위해 $\sqrt{2}$를 곱합니다. 반대로 빗변이 주어졌다면 직각을 낀 변을 구하기 위해 $\sqrt{2}$로 나눕니다.
4. 4단계: 방정식 (equation) 풀기 — 구하고자 하는 값을 미지수로 두고 비례식 (proportion)이나 방정식을 세워 정답을 도출합니다.

Desmos 꿀팁

수능과 달리 SAT에서는 Desmos를 적극적으로 사용할 수 있습니다. 만약 문제의 보기가 소수점으로 주어졌거나, 내가 구한 답(예: $\frac{10}{\sqrt{2}}$)과 보기의 형태(예: $5\sqrt{2}$)가 달라 헷갈린다면, Desmos 입력창에 두 수식을 모두 입력해 보세요. 두 값이 같은 소수점(약 7.071)을 나타낸다면 동일한 값임을 1초 만에 확인할 수 있습니다. 무리수 유리화에 시간을 뺏기지 마세요!

풀이 예제

문제: A square has a diagonal of length $8\sqrt{2}$. What is the area of the square?

풀이:

1. 정사각형의 대각선은 정사각형을 두 개의 45-45-90 직각삼각형으로 나눕니다.
2. 여기서 대각선은 45-45-90 삼각형의 빗변(hypotenuse)에 해당합니다. 빗변의 길이가 $8\sqrt{2}$입니다.
3. 45-45-90 삼각형의 비율은 $x : x : x\sqrt{2}$입니다. 따라서 빗변 $x\sqrt{2} = 8\sqrt{2}$라는 방정식 (equation)을 세울 수 있습니다.
4. 양변을 $\sqrt{2}$로 나누면 $x = 8$이 됩니다. 즉, 정사각형의 한 변의 길이는 $8$입니다.
5. 정사각형의 넓이 (area)는 한 변의 길이의 제곱이므로, $8^2 = 64$가 됩니다.

정답: 64

자주 하는 실수

1. 잘못된 삼각형 공식 적용 — Lumist 데이터에 따르면 기하 문제 오답의 32%가 잘못된 삼각형 공식을 사용해서 발생합니다. 학생들은 종종 45-45-90 비율을 /ko/sat/math/teuk-su-jik-gak-sam-gak-hyeong-30-60-90의 비율($1 : \sqrt{3} : 2$)과 혼동하여, 빗변에 $\sqrt{2}$ 대신 $2$나 $\sqrt{3}$을 곱하는 실수를 범합니다.

2. 특수 직각삼각형 인지 실패 — Lumist 학생 데이터 분석 결과, 기하 오답의 20%는 특수 직각삼각형을 알아보지 못해 발생합니다. 문제에 $45^\circ$ 각도만 주어지고 변의 길이가 하나만 주어졌을 때, 일반적인 피타고라스 정리를 쓰려다 미지수가 2개라 풀 수 없다며 포기(해 없음 / no solution으로 착각)하는 경우가 많습니다. 직각과 $45^\circ$가 보이면 즉시 $1 : 1 : \sqrt{2}$ 비율을 떠올려야 합니다.