삼각 부등식 (Triangle Inequality)

빠른 답변: 삼각 부등식(Triangle Inequality)은 삼각형의 두 변의 길이의 합이 항상 나머지 한 변보다 커야 한다는 원리입니다.

graph TD
    A["두 변의 길이 a, b가 주어짐"] --> B{"세 번째 변 x의 범위 구하기"}
    B --> C["최솟값: a - b의 절댓값"]
    B --> D["최댓값: a + b"]
    C --> E[|a - b| < x < a + b]
    D --> E

삼각 부등식이란?

삼각 부등식 (Triangle Inequality)은 기하학의 가장 기본적인 원리 중 하나로, 삼각형 (triangle)이 성립하기 위한 필수 조건입니다. 한국 수학 교육과정에서는 주로 중학교 기하 단원에서 처음 배우며, 이후 고등학교 수학 I, 수학 II 및 기하 과목에서 기초 개념으로 활용됩니다.

College Board에서 주관하는 Digital SAT 수학에서는 주로 두 변의 길이가 주어졌을 때 세 번째 변의 가능한 길이를 묻는 문제로 자주 등장합니다. 한국 수능 수학과 달리, SAT는 계산기인 Desmos 사용이 가능하므로 부등식 영역을 직접 눈으로 확인하며 풀 수 있습니다.

SAT 수학 영역의 주요 개념 비교

SAT 수학은 크게 대수, 기하 & 삼각함수 (trigonometry), 통계 등으로 나뉩니다. 대수 영역에서는 기울기 (slope), y절편 (y-intercept)을 활용한 일차방정식이나, 판별식 (discriminant), 꼭짓점 (vertex), 대칭축 (axis of symmetry)을 다루는 이차 (quadratic) 방정식 (equation), 그리고 해 없음 / 불능 (no solution)이나 부정 / 무한해 (infinite solutions)를 묻는 연립방정식 (system of equations)이 출제됩니다. 또한, 함수 (function)의 정의역 (domain)과 치역 (range), 합성함수 (composite function), 역함수 (inverse function), 다항식 (polynomial), 유리식 (rational expression), 지수 (exponent), 인수분해 (factoring) 등도 중요합니다.

통계 영역에서는 평균 (mean), 중앙값 (median), 최빈값 (mode), 표준편차 (standard deviation), 확률 (probability), 백분율 (percentage), 비율 (ratio), 비례식 (proportion) 등이 나옵니다. 반면 기하 영역에서는 원 (circle)의 넓이 (area)와 부피 (volume), 그리고 절댓값 (absolute value)을 활용하는 삼각 부등식 (inequality)이 핵심입니다.

단계별 풀이법

두 변의 길이가 $a$와 $b$로 주어졌을 때, 세 번째 변 $x$의 범위를 구하는 방법입니다.

1. 1단계 — 두 변의 길이의 합을 구합니다. 이것이 세 번째 변이 가질 수 있는 최댓값의 한계(포함하지 않음)가 됩니다. ($x < a + b$)
2. 2단계 — 두 변의 길이의 차의 절댓값 (absolute value)을 구합니다. 이것이 세 번째 변이 가질 수 있는 최솟값의 한계가 됩니다. ($x > |a - b|$)
3. 3단계 — 구한 두 값을 결합하여 부등식 (inequality) 형태로 나타냅니다.

$$|a - b| < x < a + b$$

Desmos 꿀팁

수능과 달리 SAT에서는 Desmos를 활용할 수 있습니다. 세 번째 변의 범위를 시각적으로 확인하고 싶다면, Desmos에 부등식을 직접 입력해 보세요. 예를 들어 두 변이 5와 8이라면, 입력창에 |5 - 8| < x < 5 + 8을 입력하면 $x$가 존재할 수 있는 수직선 상의 영역이 색칠되어 표시됩니다. 이를 통해 보기 중 알맞은 값을 직관적으로 골라낼 수 있습니다.

풀이 예제

문제: A triangle has two sides with lengths of 7 and 12. If the length of the third side is an integer $x$, what is one possible value of $x$?

풀이:

세 번째 변 $x$의 범위를 구하기 위해 삼각 부등식 정리를 적용합니다.

1단계: 두 변의 합을 구합니다.

$$7 + 12 = 19$$

2단계: 두 변의 차의 절댓값을 구합니다.

$$|12 - 7| = 5$$

3단계: 부등식을 세웁니다.

$$5 < x < 19$$

따라서 $x$는 5보다 크고 19보다 작은 정수여야 합니다. 6부터 18까지의 정수 중 하나를 선택하면 정답이 됩니다. (예: 10)

자주 하는 실수

1. 잘못된 공식 적용 — Lumist 학생 데이터에 따르면, 기하 & 삼각함수 영역의 오답률이 27%로 가장 높으며, 이 중 32%의 오류가 잘못된 삼각형 공식을 적용(예: 넓이나 피타고라스 정리와 혼동)하여 발생합니다. 삼각 부등식은 직각 삼각형에만 적용되는 것이 아니라 모든 삼각형에 적용됨을 기억하세요.

2. 부등호 기호 혼동 — 많은 학생들이 $x \leq a + b$ 처럼 등호를 포함하는 실수를 합니다. 삼각형이 되려면 두 변의 합이 세 번째 변보다 '무조건' 커야 하므로 등호가 들어가면 안 됩니다. 또한 특수 직각 삼각형 (30-60-90)이나 특수 직각 삼각형 (45-45-90) 문제와 혼동하여 불필요한 삼각비를 계산하려다 시간을 낭비하는 경우도 잦습니다.

자주 묻는 질문

삼각 부등식이 뭔가요?

삼각형의 세 변 중 어느 두 변을 더해도 나머지 한 변보다 길어야 한다는 기하학적 원리입니다. 이 원리를 만족하지 않으면 선분이 서로 만나지 못해 삼각형이 만들어지지 않습니다.

세 변의 길이가 주어졌을 때 삼각형이 되는지 어떻게 아나요?

가장 긴 변의 길이를 찾아 나머지 두 변의 길이의 합과 비교하세요. 가장 긴 변이 나머지 두 변의 합보다 작으면 삼각형이 성립합니다.

특수 직각 삼각형 문제와 헷갈려요. 어떻게 구분하나요?

특수 직각 삼각형 문제는 각도가 주어지거나 직각이라는 조건이 명시됩니다. 반면 삼각 부등식 문제는 각도에 대한 정보 없이 변의 길이 범위만을 묻는 경우가 많습니다.

SAT에서 삼각 부등식 문제는 몇 개 나오나요?

Lumist.ai 데이터베이스에는 이와 관련된 12개의 연습 문제가 있습니다. 기하 & 삼각함수 영역에서 매 시험마다 1~2문제 정도 출제될 수 있으므로, 확실히 점수를 확보해야 하는 기본 유형입니다.