일차부등식 풀이 (Solving Linear Inequalities)

빠른 답변: 일차부등식 (Linear inequality) 풀이는 일차방정식과 비슷하지만, 음수로 곱하거나 나눌 때 부등호의 방향이 바뀐다는 점이 핵심입니다. 수능과 달리 SAT에서는 Desmos 계산기를 활용해 부등식 영역을 그래프로 그려 직관적으로 해를 찾을 수 있어요.

graph LR
    A["부등식 확인"] --> B["상수항 이항"] --> C["변수항 정리"] --> D["계수로 나누기"] --> E["부등호 방향 확인"]

일차부등식 풀이이란?

일차부등식 (Linear inequality)은 변수의 최고차항이 1차인 부등식을 의미합니다. College Board에서 주관하는 Digital SAT의 대수 (algebra) 영역에서 매우 중요한 비중을 차지합니다. 기본적으로 일차방정식 풀이와 과정이 같지만, 해가 단일한 값이 아니라 범위로 나타난다는 특징이 있습니다.

한국 수학 교육과정에서는 중학교 2학년 때 처음 배우고, 고등학교 공통수학(또는 수학 상)에서 연립부등식과 절댓값 (absolute value) 부등식으로 확장됩니다. 한국의 수능 수학에서는 모든 식을 손으로 전개하고 대수적으로 풀어내야 하지만, Digital SAT에서는 Desmos 내장 계산기 사용이 가능합니다. 따라서 부등식을 그래프로 시각화하여 해의 범위를 찾는 것이 훨씬 유리합니다.

단계별 풀이법

대수적으로 일차부등식을 푸는 기본 단계는 다음과 같습니다.

1. 1단계: 괄호 풀기 및 식 정리 — 분배법칙을 사용하여 괄호를 풀고, 양변에 분수나 소수가 있다면 적절한 수를 곱해 정수로 만들어 줍니다.
2. 2단계: 변수항과 상수항 분리 — 변수($x$)가 포함된 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항합니다. 이항할 때는 부호가 바뀝니다.
3. 3단계: 동류항 계산 — 좌변과 우변의 동류항을 각각 계산하여 $ax < b$ 또는 $ax \geq b$의 형태로 만듭니다.
4. 4단계: 변수의 계수로 나누기 (핵심) — 양변을 $x$의 계수 $a$로 나눕니다. 이때 $a$가 음수라면 반드시 부등호의 방향을 반대로 뒤집어야 합니다.

Desmos 꿀팁

한국 수능과 달리 SAT에서는 Desmos를 적극적으로 활용해야 시간을 단축할 수 있습니다. 일차부등식 문제에서 변수가 하나($x$)뿐이더라도, Desmos 입력창에 부등식을 그대로 입력해 보세요.

예를 들어, $2x - 5 < 3$을 입력하면 $x < 4$에 해당하는 영역이 수직선 형태의 색칠된 구간으로 나타납니다. 만약 변수가 $x$와 $y$ 두 개인 경우, 기울기-절편 형식이나 점-기울기 형식으로 정리할 필요 없이 문제의 식을 그대로 치면 됩니다. 실선($\leq, \geq$)과 점선($<, >$)의 차이, 그리고 색칠된 영역을 통해 해의 범위를 직관적으로 파악할 수 있어 계산 실수를 완벽하게 방지할 수 있습니다.

풀이 예제

문제: Which of the following represents all solutions to the inequality $-3(x - 4) \leq 2x + 7$?

A) $x \geq 1$ B) $x \leq 1$ C) $x \geq 5$ D) $x \leq 5$

풀이:

1단계: 좌변의 괄호를 분배법칙으로 풉니다.

$-3x + 12 \leq 2x + 7$

2단계: 변수항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항합니다.

$-3x - 2x \leq 7 - 12$

3단계: 동류항을 계산합니다.

$-5x \leq -5$

4단계: 양변을 $-5$로 나눕니다. 음수로 나누므로 부등호의 방향을 반대로 바꿉니다.

$x \geq 1$

따라서 정답은 A) $x \geq 1$ 입니다.

자주 하는 실수

1. 음수로 곱하거나 나눌 때 부등호 방향 안 바꾸기 — Lumist 데이터에 따르면, 부등식 문제 오류의 45%가 음수를 곱하거나 나눌 때 부등호 방향을 바꾸지 않아서 발생합니다. 방정식 (equation) 풀이에 너무 익숙해져서 부등식 (inequality) 고유의 규칙을 깜빡하는 경우가 많습니다.

2. 그래프를 활용하지 않는 습관 — 대수 (algebra) 영역 전반의 오답률은 18%로 다른 영역에 비해 낮지만, 부등식 문제에서 계산 실수로 점수를 잃는 학생들이 많습니다. Lumist 학생 데이터에 따르면, Desmos로 부등식 영역을 그래프로 그리는 학생들이 대수적 방법만 고집하는 학생들보다 실수가 적습니다. 눈으로 해의 영역을 직접 확인하는 습관을 들이세요.