가감법 (Elimination Method)

빠른 답변: 연립방정식 (system of equations)에서 두 식을 더하거나 빼서 하나의 변수를 없애는 풀이법입니다. 대수적으로 푸는 것도 중요하지만, Digital SAT에서는 내장된 Desmos 계산기를 활용하면 훨씬 빠르고 정확하게 해를 구할 수 있습니다.

pie title 연립방정식 주요 오답 원인
    "효율적인 가감법 대신 대입법 사용" : 31
    "해 없음 vs 무한해 개념 혼동" : 28
    "이항 및 덧셈/뺄셈 부호 실수" : 19
    "기타 실수" : 22

가감법이란?

가감법 (Elimination Method)은 두 개 이상의 방정식 (equation)으로 이루어진 연립방정식 (system of equations)을 풀 때, 식끼리 더하거나 빼서 변수 하나를 소거하는 방법입니다. 한국 수학 교육과정에서는 중학교 2학년 때 '연립일차방정식' 단원에서 처음 배우며, 이후 고등학교 수학 I과 수학 II에서 두 함수 (function)의 교점을 찾을 때 필수적으로 사용되는 기본기입니다.

College Board에서 출제하는 Digital SAT 수학 섹션 중 대수 (algebra) 영역에서 매우 비중 있게 다뤄집니다. 한국의 수능 수학에서는 모든 계산을 손으로 직접 해야 하지만, SAT에서는 시험 프로그램에 내장된 Desmos 그래핑 계산기를 사용할 수 있다는 점이 가장 큰 차이점입니다.

단계별 풀이법

1. 1단계: 계수 맞추기 — 두 방정식에서 없애고 싶은 변수(x 또는 y)의 계수 절댓값이 같아지도록 한 식 또는 두 식 전체에 적절한 수를 곱합니다.
2. 2단계: 더하거나 빼기 — 계수의 부호가 반대면 두 식을 더하고, 부호가 같으면 두 식을 뺍니다. 이때 변수 하나가 소거됩니다.
3. 3단계: 남은 변수 풀기 — 소거되지 않고 남은 하나의 변수에 대해 일차방정식을 풉니다. 기본기가 부족하다면 /ko/sat/math/sat-il-cha-bang-jeong-sik-pul-i 문서를 참고하세요.
4. 4단계: 원래 식에 대입하기 — 3단계에서 구한 값을 원래의 두 방정식 중 계산하기 편한 곳에 대입하여 나머지 변수의 값을 구합니다.

Desmos 꿀팁

수능과 달리 SAT에서는 Desmos를 사용할 수 있습니다. Lumist 데이터에 따르면, 연립방정식을 대수적으로 풀지 않고 Desmos의 교점(intersection) 확인 기능을 사용한 학생들은 오답률을 40%나 줄였습니다.

Desmos 입력창 첫 번째 줄에 첫 번째 방정식을 그대로 입력하고, 두 번째 줄에 두 번째 방정식을 입력하세요. 그래프 영역에서 두 선이 만나는 교점을 클릭하면 $(x, y)$ 좌표가 나타나며, 이것이 바로 연립방정식의 해입니다. 직선의 방정식 형태가 헷갈린다면 /ko/sat/math/gi-ul-gi-jeol-pyeon-hyeong-sik 개념을 복습하는 것이 좋습니다.

풀이 예제

문제:

$3x + 4y = 10$

$2x - 4y = 10$

If $(x, y)$ is the solution to the system of equations above, what is the value of $x$?

풀이:

이 문제에서는 $y$의 계수가 이미 $+4$와 $-4$로 절댓값이 같고 부호가 다릅니다. 따라서 두 식을 그대로 더해주면 $y$를 쉽게 소거할 수 있습니다.

$(3x + 4y) + (2x - 4y) = 10 + 10$

$5x = 20$

양변을 5로 나누어줍니다.

$x = 4$

정답은 4입니다. (만약 $y$값도 구해야 한다면, $x=4$를 첫 번째 식에 대입하여 $3(4) + 4y = 10$을 풀면 됩니다. 직선의 방정식이 어떤 기울기 (slope)와 점을 지나는지 분석할 때는 /ko/sat/math/jeom-gi-ul-gi-hyeong-sik을 활용할 수도 있습니다.)

자주 하는 실수

1. 비효율적인 방법 선택 — Lumist 학생 데이터에 따르면, 31%의 학생들이 가감법을 쓰면 10초 만에 풀리는 문제(위 예제처럼 계수가 맞춰져 있는 경우)에서도 굳이 대입법을 사용하려다 시간을 낭비하거나 계산 실수를 합니다.

2. 특수한 해의 혼동 — 연립방정식을 풀었을 때 변수가 모두 사라지는 경우가 있습니다. Lumist 데이터에 따르면 28%의 학생들이 이를 처음 접할 때 혼동합니다. $0 = 5$처럼 말이 안 되는 결과가 나오면 평행한 두 직선이므로 **해 없음 (no solution)**이고, $0 = 0$처럼 항상 참인 결과가 나오면 일치하는 두 직선이므로 **부정 / 무한해 (infinite solutions)**입니다.

3. 부호 실수 — 19%의 오답이 식을 빼거나 이항할 때 발생합니다. 두 식을 뺄 때 괄호 전체에 마이너스 부호를 분배하는 것을 잊는 경우가 많습니다. 실수를 줄이려면 빼기보다는 '한 식에 -1을 곱한 뒤 두 식을 더하는' 방식을 습관화하세요.